πόσα στοιχεία έχει ένα δυναμοσύνολο ή περί επαγωγής

Ξεκίνησα σήμερα το βιβλίο του Ρασσιά για το πρώτο εξάμηνο. Η Μαθηματική Ανάλυση Ι, από τις εκδόσεις Σαββάλα, είναι ένα απλό αλλά περιποιημένο δίτομο έργο. Εντυπώσεις θα πω αργότερα, όταν θα έχω προχωρήσει με τη μελέτη. Σήμερα, αυτό που με παίδεψε είναι το πρώτο "αφήνεται ως άσκηση" του Ρασσιά.

Αφού έχει ορίσει τα δυναμοσύνολα και έχει δώσει και δυο παραδείγματα, ένα δυναμοσύνολο με δύο στοιχεία και ένα με τρία στοιχεία, λέει: "Μπορεί να αποδειχθεί ότι αν ένα σύνολο Α έχει ν στοιχεία, τότε το δυναμοσύνολο του Α έχει δύο εις την νιοστή στοιχεία, με ν φυσικό." Αυτό ακούγεται γοητευτικό. Αλλά σου πετάει ένα "αφήνεται ως άσκηση" και εσύ προσπαθείς μετά να βγάλεις άκρη.

Προσπάθησα να σκεφτώ πώς μπορεί να υπολογιστεί ο αριθμός των στοιχείων. Έφτιαξα και κάτι διαγράμματα με τους δυνατούς συνδυασμούς, αλλά έκανα διαρκώς λάθος στη μέτρηση των όρων. Και αποφάσισα να το ψάξω στο google. Η πρώτη απόδειξη που βρήκα ήταν από το Πανεπιστήμιο της Utah. Και μόλις την διάβασα τσαντίστηκα. Αισθάνθηκα... απατημένος!

Ο λόγος που αισθάνθηκα πως η απόδειξη "έκλεβε" ήταν επειδή χρησιμοποίησε επαγωγή για να το δείξει. Αντί δηλαδή να κάνει συλλογισμούς ξεκινώντας από την έννοια του δυναμοσυνόλου και να καταλήξει σε εκείνο το μυστηριώδες "δύο εις τη νι" ο μαθηματικός της απόδειξης γνωρίζει τον τύπο ήδη και με την επαγωγή αποδεικνύει πως αυτό είναι.

Μα δεν υπάρχει τρόπος να οδηγηθείς σε αυτό χωρίς να το... ξέρεις ήδη; Αυτό ήταν το ερώτημα που με έκαιγε.

Και επειδή δεν έχω δώσει ακόμα απάντηση, αλλά και επειδή με γοήτευσε η απόδειξη της επαγωγής, θέλω να μιλήσω για τις σκέψεις και τα συναισθήματα που μου δημιούργησε η μέθοδος της επαγωγής στην απόδειξη.

Η μαθηματική επαγωγή χάνεται στα βάθη της ιστορίας των μαθηματικών. Φαίνεται πως την είχαν χρησιμοποιήσει με κάποιον έμμεσο τρόπο αρχαίοι Έλληνες, Άραβες και Εβραίοι μαθηματικοί, όμως δεν είχε περιγραφεί θεωρητικά ως μέθοδος απόδειξης. Πολλά βιβλία αναφέρουν ως θεμελιωτή της τον Φραντσέσκο Μαυρόλυκο, έναν Ελληνικής καταγωγής Ιταλό, που έζησε στα μέσα του δεκάτου έκτου αιώνα. Αλλά κάπου διάβασα πως τελικά και αυτός απλά την χρησιμοποίησε χωρίς να την προβάλει ως γενική μέθοδο απόδειξης στα μαθηματικά, κάτι που, όπως λένε, έκανε ο Πασκάλ έναν αιώνα μετά. Η κανονική θεμελίωσή της έγινε μόλις τον δέκατο ένατο αιώνα.

Η φαντασία μου σαγηνεύεται από έναν μυστηριώδη Έλληνα στον απόηχο της πτώσης του Βυζαντίου να γεννά στη Σικελία τη μέθοδο της επαγωγής. Και μετά να περνάει ένας ολόκληρος αιώνας για να ξαναχρησιμοποιηθεί. Και μετά και άλλοι αιώνες ώσπου να θεμελιωθεί και να γίνει κοινός τόπος για τους μαθηματικούς.

Και όταν διάβασα αυτό για τη χρήση της κατά την αρχαιότητα, η πορεία της μεθόδου έγινε ακόμα πιο σκοτεινή και γι' αυτό πιο συναρπαστική. Φανταστείτε μια μέθοδο να χρησιμοποιείται κατά την επίλυση συγκεκριμένων προβλημάτων, αλλά να μην έχουν φτάσει οι μαθηματικοί στο επίπεδο της συνειδητοποίησης και διατύπωσης πως έχουν να κάνουν με μια γενική μέθοδο απόδειξης που έχει ιδιαίτερο ενδιαφέρον για τα μαθηματικά. Και ξαφνικά ένας γιος μεταναστών, από ένα βασίλειο που έσβησε, να την περιγράφει θεωρητικά, να δίνει μορφή σε αυτό πάνω στο οποίο σκόνταψε το ένστικτο μερικών μαθηματικών της αρχαιότητας.

Αλλά και τον Πασκάλ να πάρουμε σαν "πατέρα" της επαγωγής, το γεγονός παραμένει ότι βρισκόμαστε ενώπιον μιας κομψής αποδεικτικής μεθόδου, που έχει μια ιδιαίτερη γοητεία.

Το ότι είναι κομψή το βλέπετε όταν διαβάζετε την απόδειξη. Γιατί λέω όμως ότι έχει τη δικιά της γοητεία;

Διότι βασίζεται στο πείραμα. Στο παιχνίδι με τις σχέσεις και τους αριθμούς. Στα μαθηματικά πειράματα. Ερευνώντας τις ιδιότητες κάποιας έννοιας, με συγκεκριμένα παραδείγματα, μπορεί να υποψιαστούμε μια γενική αλήθεια. Και χρησιμοποιώντας την επαγωγή ίσως μπορέσουμε να αποδείξουμε πως η υποψία μας είναι αληθινή, πως αυτό που παρατηρούμε στα πειράματά μας έχει γενική ισχύ, πως πράγματι βρήκαμε μια γενική αλήθεια!

Ο αρχικός μου εκνευρισμός δεν απέδιδε δικαιοσύνη στην απόδειξη. Ερευνώντας συγκεκριμένα μικρά σύνολα, βλέπουμε πως ο αριθμός των στοιχείων των δυναμοσυνόλων ακολουθεί τις δυνάμεις του δύο. Και η επαγωγή οδηγεί στην αναγωγή της παρατήρησής μας σε ένα χρήσιμο γενικό κανόνα για όλα τα δυναμοσύνολα. Pretty neat. Αν σ' αρέσει να πειραματίζεσαι. Αν προτιμάς να βρίσκεις κάτι χωρίς παραδείγματα, τότε η επαγωγή θα σε τσαντίσει. Και θα αναρωτιέσαι πώς προκύπτει αυτό το "δύο εις τη νι".