Ο Αχιλλέας και η χελώνα

Το Παράδοξο του Ζήνωνα είναι γνωστό. Παίδεψε πολύ κόσμο από την αρχαιότητα μέχρι σήμερα και δεν μπορεί παρά να εξάπτει και την δική μου περιέργεια.

Αν έχουμε έναν αγώνα δρόμου μεταξύ του Αχιλλέα και μιας χελώνας, και η χελώνα ξεκινήσει με προβάδισμα, για παράδειγμα, ενός σταδίου, ο Αχιλλέας (που ήταν ο καλύτερος δρομέας της μυθολογίας), δεν θα μπορέσει ποτέ να φτάσει τη χελώνα. Αν θεωρήσουμε οτι ο Αχιλλέας είναι 100 φορές πιο γρήγορος από τη χελώνα, τότε όταν ο Αχχιλέας θα έχει διανύσει ένα στάδιο, η χελώνα θα έχει διανύσει ένα στάδιο και ένα εκατοστό του σταδίου. Όταν ο Αχιλλέας διανύσει ένα στάδιο και ένα εκατοστό του σταδίου, η χελώνα θα έχει διανύσει ένα στάδιο και ένα εκατοστό και ένα εκατοστό του εκατοστού του σταδίου κ.ο.κ. Επομένως η χελώνα πάντα θα προπορεύεται, επομένως ο Αχιλλέας δε μπορεί να την φτάσει.

Ή, όπως το μεταφέρει ο Αριστοτέλης στα Φυσικά:

τὸ βραδύτατον οὐδέποτε καταληφθήσεται θέον ὑπὸ τοῦ ταχίστου· ἔμπροσθεν γὰρ ἀναγκαῖον ἐλθεῖν τὸ διῶκον ὅθεν ὥρμησεν τὸ φεῦγον, ὥστε ἀεί τι προέχειν ἀναγκαῖον τὸ βραδύτερον.

Σε μια κούρσα, δηλαδή, το πιο αργό δε θα ξεπεραστεί ποτέ από το πιο γρήγορο, γιατί ο πιο γρήγορος δρομέας που κυνηγάει τον πιο αργό θα πρέπει να έρθει στο σημείο από το οποίο ξεκίνησε ο αργός και έτσι πάντα θα είναι λίγο πιο μπροστά ο πιο αργός.

Κατά τη γνώμη μου ο Ζήνωνας έχει δίκιο στη σκέψη του. Ο Ελεάτης φιλόσοφος, ο μαθητής του Παρμενίδη από τη Μεγάλη Ελλάδα της Ιταλίας, που δεν έχει σχέση με τον Ζήνωνα τον Στωικό από το Κίτιο της Κύπρου, αναλύει την κίνηση εξαιρετικά με προσέγγιση που μου θυμίζει αυτά που διάβασα για την επιστημονική επανάσταση. Το πρόβλημα του Ζήνωνα μεταγράφεται στο δικό μου μυαλό σε ζήτημα υλικών σημείων σε κενό χώρο και σε μια τέτοια περίπτωση πράγματι όσο μικρό διάστημα και να πάρουμε, πάντα το βραδύ θα είναι απειροελάχιστα πιο μπροστά από το ταχύ.

Και όμως, η καθημερινή ζωή μας λέει πως το παράδοξο λύνεται, ο γόρδιος δεσμός κόβεται στην πράξη, και το ταχύ ξεπερνά τελικά το αργό. Κατά τη γνώμη μου αυτό έχει ενδιαφέρουσες επιπτώσεις για τη φυσική και τα μαθηματικά. Αν πράγματι ο χώρος και ο χρόνος είχε το νόημα που συνήθως θεωρούμε ότι έχει, δηλαδή ήταν κάτι το συνεχές, τότε η μαθηματική σκέψη του Ζήνωνα θα καθιστούσε απαγορευτική την ίδια την κίνηση. Το γεγονός ότι η φύση λειτουργεί με τον τρόπο με τον οποίο λειτουργεί, μας δείχνει πως οι υποθέσεις που κάναμε για τον χρόνο και τον χώρο είναι λανθασμένες και πως δεν έχει νόημα να μιλάμε για συνέχεια, αλλά είναι πιο σωστό να σκεφτόμαστε με όρους κβαντισμένων μεγεθών.

Αν, για παράδειγμα, δούμε τον χρόνο ως ένα κβαντισμένο μέγεθος, αν δηλαδή υπάρχει μια απόλυτη μονάδα χρόνου κάτω από την οποία δεν υπάρχει χρόνος, τότε μπορούμε να σκεφτούμε πως το πρόβλημα του Ζήνωνα λύνεται εύκολα, αφού όταν θα φτάσουμε στο επίπεδο των κβάντων του χρόνου, τότε ο "Αχιλλέας" ξεπερνά την "χελώνα" και ο φαύλος κύκλος ξεπερνιέται.

Στο ίδιο συμπέρασμα θα μπορούσαμε να οδηγηθούμε αν δούμε τον χώρο ως ένα κβαντισμένο μέγεθος. Όταν ο συλλογισμός μας αντιμετωπίσει τα κβάντα του χώρου, τότε ο "Αχιλλέας" θα ξεπεράσει τη χελώνα, γιατί δε θα υπάρχει πιο μικρή απόσταση για να μπορέσει η "χελώνα" να διανύσει και να προηγηθεί απειροελάχιστα του "Αχιλλέα".

Φυσικά, θα μπορούσε να ισχύουν και τα δυο ενδεχόμενα, δηλαδή και ο χώρος και ο χρόνος να είναι κβαντισμένα μεγέθη.

Επομένως, κατά τη γνώμη μου το παράδοξο του Ζήνωνα θα μπορούσε να βάλει ένα τέλος στην αντίληψη της συνέχειας του χώρου, του χρόνου ή και των δύο μαζί, μια ιδέα που βρίσκω αρκετά γοητευτική και που φυσικά διεγείρει την περιέργειά μου για την φύση του χώρου και του χρόνου.

Αλλά τα συναρπαστικά ζητήματα που θέτει το πρόβλημα του αρχαίου Ελεάτη δε σταματούν εδώ. Από τη στιγμή που έχουν χρησιμοποιηθεί μαθηματικά για να περιγραφεί το πρόβλημα, τίθεται και το ζήτημα του ρόλου των μαθηματικών, τόσο στην προκειμένη περίπτωση, όσο και γενικότερα στη φυσική. Η "λύση" που δίνεται π.χ. του προβλήματος με τις ακολουθίες και τα όρια, έχει φυσικό νόημα, ή είναι απλά μια περιγραφή της κατάστασης; Πόσο νόημα έχει να μιλάμε για όρια σαν να είναι κάτι πραγματικό, ή μήπως πρέπει να τα αντιμετωπίζουμε απλά ως εργαλεία περιγραφικά που μπορεί να έχουν πρακτικές εφαρμογές αλλά δε μας βοηθούν στην κατανόηση της φύσης του σύμπαντος; Με λίγα λόγια, πότε τα μαθηματικά εξηγούν και πότε απλά περιγράφουν τη φύση;

Αδημονώ να ξεκινήσω την Ανάλυση, ώστε να ξαναδώ το ζήτημα υπό το φως των όσων είπε ο Cauchy και οι άλλοι μεγάλοι νεώτεροι μαθηματικοί! Αλλά και να δω πώς αντιμετωπίζει η Γενική Θεωρεία της Σχετικότητας τον χωροχρόνο!

Υ.Γ. Ενώ τέλειωνα το κείμενο αυτό, διάβασα πως το παράδοξο αυτό είναι μέρος μιας σειράς παραδόξων, τα οποία πρέπει να αντιμετωπιστούν όλα μαζί. Ήξερα πως τελικός σκοπός του φιλοσόφου είναι να αποδείξει πως δεν υπάρχει κίνηση και πως η κίνηση, η μεταβολή, και η πολλαπλότητα είναι ψευδαίσθηση και τώρα μαθαίνω πως με τα παράδοξα αυτά στόχευε να μας οδηγήσει στην παραδοχή των ιδεών του. Δε σκοπεύω να διαλεχθώ με παρωχημένες φιλοσοφικές θέσεις, αλλά δεν μπορώ και να προβλέψω αν κάτι θα κινήσει την περιέργειά μου και θα προκαλέσει και νέα ανάρτηση αργότερα!