Τα όρια κατά... Ανδρέα

Λοιπόν, αν προσθέσουμε μια απλή ανισότητα στον ορισμό του ορίου, δηλαδή αν ζητήσουμε το απόλυτο της διαφοράς του l από το f(x) να είναι μεγαλύτερο του μηδενός, τότε νομίζω πως θα εξασφαλίσουμε την αποφυγή αυτών των ενοχλητικών ταλαντώσεων γύρω από το όριο όσο πλησιάζουμε σε αυτό. Φυσικά αυτό θα σημαίνει πως δε θα μπορεί να οριστεί και όριο για σταθερές συναρτήσεις, αλλά μικρό το κακό. Άλλωστε, διαισθητικά δε στέκει να ρωτήσεις που τείνει η f(x) = c σε κάποιο σημείο του πεδίου ορισμού της...

Το πρόβλημα που δημιουργεί αυτός ο ορισμός είναι ότι χάνεσαι μέσα στο άπειρο καθώς προσεγγίζεις ένα σημείο όπως το μηδέν σε μια συνάρτηση όπως είναι η f(x)=xsin1/x για x διάφορο του μηδενός και μηδέν για x μηδέν. Φυσικά το πρόβλημα εξαφανίζεται όταν δούμε το πράγμα από τη σκοπιά του μηδενός, δηλαδή αν ξεκινήσουμε από το μηδέν και προχωρήσουμε, αλλά με τον ορισμό κάνουμε το ανάποδο, πάμε δηλαδή προς το όριο από κάπου μακρύτερα...

Τι θα γίνει αν αντί για τη διαφορά του l από το f(x) εξετάσουμε το άθροισμα; Έτσι μπορούμε να αλλάξουμε οπτική και από το να πλησιάζουμε στο όριο μπορούμε να απομακρυνόμαστε από αυτό. Αλλά ενώ θεωρητικά κάτι τέτοιο θα είχε πλεονεκτήματα, πρακτικά δεν μπορείς να βάλεις αυθαίρετα ένα πολύ μικρό x και να βρεις πολύ μικρά ε και δ... αφού το "δίπλα" στο l δεν υπάρχει, μιας και πάντα θα υπάρχει και κάτι πιο... "δίπλα", δηλαδή κάτι περισσότερο κοντινό στο l από αυτό που θα έχεις αυθαίρετα επιλέξει.

Είναι σαν από τη μια να πέφτεις στην παγίδα του απείρου όταν πας να προσεγγίσεις το όριο και ας είναι η περιοχή πάρα πολύ μικρή (οι ταλαντώσεις που λέγαμε) και από την άλλη να πέφτεις μέσα στην τρύπα του απείρου με το που πας να κάνεις ένα βήμα από το όριο προς τα "πέρα" (το αδύνατο του να βρεις τον αριθμό που έπεται του μηδενός, καθώς για κάθε αριθμό θα υπάρχει κάποιος μικρότερος και η ταλάντωση θα προκύπτει όσο κοντά και αν είσαι στο μηδέν)! Ό,τι και να κάνεις δεν ξεφεύγεις από την έννοια του απείρου. Εκτός και αν αποδεχτείς πως μπορεί να υπάρχει συνάρτηση συνεχής σε ένα σημείο της και ασυνεχής σε όλα τα άλλα!

Άρα συνεχίζουμε να πορευόμαστε με τον κλασσικό ορισμό των ορίων, με την επίγνωση πια ότι η συνέχεια δεν είναι και τόσο συνεχής και το πεπερασμένο διάστημα δεν είναι και τόσο πεπερασμένο. Είμαι περίεργος να δω πώς ακριβώς έλυσαν τα ζητήματα αυτά με τους αριθμούς και με την ευθεία των πραγματικών αριθμών, αλλά υποπτεύομαι πως οι λύσεις που θα έχουν δοθεί θα είναι προς την κατεύθυνση τεχνητών συμβάσεων που μας επιτρέπουν να κάνουμε δουλειά και όχι λύσεις που να είναι συμβατές με την διαισθητική μου αντίληψη για τα πράγματα. Επομένως θα μείνουμε στο επίπεδο της σύμβασης. Κρίμα, αλλά τι να κάνουμε;

Ωχ...

Να δω πώς θα μελετάω όλα αυτά τα ενδιαφέροντα θέματα τώρα που θα ξεκινήσω ειδικότητα!

Όρια, αλλά ποια όρια;

Ώστε για αυτό ξεκινάει με ανισότητες το βιβλίο του ο Ρασσιάς! Οι ανισότητες παίζουν τον κεντρικό ρόλο στον ορισμό του ορίου. Χάθηκε όμως να το εξηγήσει και αυτός ο άνθρωπος, παρά μας πετάει τις ανισότητες και μένουμε με την απορία γιατί να αρχίζει έτσι ένα βιβλίο για την Ανάλυση; Αυτός ο παραγωγικός τρόπος που σου πετάνε μερικά θεωρήματα και ορισμούς και μετά χτίζουν ένα οικοδόμημα μου φαίνεται τελείως σπαστικός. Μπορεί να καταλαβαίνεις τη χρησιμότητά τους με τον καιρό και έτσι να σου φαίνονται χρήσιμα αυτά που έμαθες επειδή κάποιος αποφάσισε να τα μάθεις, αλλά δεν παύει να είναι προβληματικό να κρύβεις κάτω από μια επίφαση λογικού οικοδομήματος τη βρώμικη δουλειά που χρειάστηκε για να φτάσουμε εκεί που φτάσαμε.

Εγώ δε θέλω απλά να μπω στο οικοδόμημα και να το κατοικήσω, αλλά να μάθω πώς χτίστηκε και να συμμετέχω και εγώ στο χτίσιμο. Άρα μου χρειάζεται ένας άλλος τρόπος εκμάθησης αλλά αφού δε βρίσκω το κατάλληλο βιβλίο, θα πρέπει να συνθέσω τα πράγματα στο μυαλό μου εκ των ενόντων. Για να γίνει αυτό θα πρέπει να περάσει αρκετός καιρός. Για να δούμε τι θα καταφέρουμε τελικά...

Το κεφάλαιο του Spivak ξεκινάει με έναν δοκιμαστικό ορισμό του ορίου, και στη συνέχεια τον μεταφράζει, με τη βοήθεια των ανισοτήτων, σε έναν ακριβή μαθηματικό ορισμό, τον οποίο και χρησιμοποιεί για να ελέγξει μερικά συγκεκριμένα όρια και να διατυπώσει ορισμένα θεωρήματα. Τώρα καταλαβαίνουμε και τι είναι αυτά τα ε - δ ή δ - ε που είχαμε δει προηγουμένως. Ο ορισμός του ορίου είναι πραγματικά σαφής και ακριβής και πάνω σε αυτόν μπορεί να χτιστεί ένα ολόκληρο οικοδόμημα, αλλά έχει κάτι που δε μου αρέσει.

Είχα μιλήσει και σε προηγούμενη ανάρτηση για μια συνάρτηση που κάνει ταλαντώσεις καθώς σταδιακά μικραίνουν οι τιμές της, παίρνοντας την τιμή μηδέν για τους άρρητους του πεδίου ορισμού της και την τιμή του αριθμού για τους ρητούς. Δε μου πάει να λέω πως αυτή η συνάρτηση έχει όριο στο μηδέν το μηδέν. Μηδέν - κάτι θετικό, μηδέν - κάτι μικρότερο θετικό, μηδέν, κάτι ακόμα πιο μικρό θετικό, και το όριο να είναι μηδέν; Αφού πάει στο μηδέν και φεύγει από αυτό προς τα πάνω, για να ξαναπέσει σε αυτό και να ξαναφύγει. Και αντίστοιχα για τους αρνητικούς αριθμούς. Γιατί να πω το όριο μηδέν;

Φυσικά, ο ορισμός ικανοποιείται και έτσι με βάση αυτόν λέμε πως το όριο είναι μηδέν. Αλλά μήπως αυτό δείχνει πως πρέπει να τροποποιήσουμε τον ορισμό; Πως οι ανισότητες δεν είναι αρκετά περιοριστικές; Πως αφήνεται χώρος για διάφορες ιδιορρυθμίες ανάμεσα στις δυο γραμμές του συμβόλου "<";

Βέβαια, από την άλλη, αναρωτιέμαι και ποιος είμαι εγώ που θα αμφισβητήσω τον ορισμό! Τόσοι μαθηματικοί τον μελέτησαν τον τελευταίο αιώνα και δεν τον τροποποίησαν, προφανώς θα είναι εξαιρετικά χρήσιμος και με πολλά πλεονεκτήματα. Γιατί να διαλέξω ορισμό με βάση αυτό που μου φαίνεται καλό διαισθητικά; Αλλά και πάλι, με ποια βάση να φτιάξει κανείς έναν ορισμό; Αν πούμε όχι στη διαίσθηση, ποιο θα είναι το κριτήριο με το οποίο θα επιλέγουμε τον καλύτερο ορισμό;

Άλλωστε, με τον ορισμό αυτόν ικανοποιείται και η διπλή μας απαίτηση για απειρία σημείων αλλά και πέρας, στο χαρτί, μιας συνάρτησης. Έτσι, μια συνεχής συνάρτηση με άπειρες ταλαντώσεις καθώς πλησιάζει π.χ. στο μηδέν τα πάει περίφημα με τον ορισμό, αλλά μήπως αυτό συμβαίνει επειδή ο ορισμός φτιάχτηκε ώστε να τα πηγαίνει καλά μαζί της; Όσο περισσότερο εξοικειώνομαι με τον Spivak, τόσο περισσότερα πράγματα μένουν ανοιχτά.

Έχω κολλήσει με αυτήν τη συνάρτηση. Γιατί π.χ. δε με ενοχλεί η ημίτονο ένα προς χ για χ διάφορο του μηδέν και μηδέν για χ μηδέν, αλλά με ενοχλεί η μηδέν για χ άρρητο και χ για χ ρητό; Το μάτι μου "καταλαβαίνει" την πρώτη γιατί το σχήμα παρουσιάζει μια συνέχεια, η γραμμή είναι ενιαία στην γραφική παράσταση και άρα μπορώ να καταλάβω πως κοντά στο μηδέν η συνάρτηση θα τείνει σε αυτό, ή, αν θέλετε, αμέσως μετά το μηδέν θα "ξεκινάει" η συνάρτηση και θα πηγαίνει προς μια κατεύθυνση η γραφική παράσταση. Ενώ η άλλη συνάρτηση δεν έχει καμία τέτοια συνέχεια στην γραφική της παράσταση και όμως αναγκαζόμαστε να την πούμε συνεχή στο μηδέν εξαιτίας του ορισμού χωρίς να είναι συνεχής σε κανένα άλλο σημείο της! Ωραία συνέχεια!

Να που τώρα αρχίζω να συνειδητοποιώ γιατί ο Spivak ξεκινάει με τους αριθμούς και γιατί είχα διαβάσει πως κατεβλήθησαν τόσες ανθρώπινες προσπάθειες για να μελετηθούν και να θεμελιωθούν οι αριθμοί και η ευθεία των πραγματικών αριθμών... Μάλλον πρέπει να μάθω για αυτές τις προσπάθειες και να δω αν με ικανοποιούν τα αποτελέσματα... Τι νόημα έχει να μιλάμε για ευθεία, τι στιγμή που δεν μπορούμε να πούμε πως ο τάδε αριθμός είναι ο επόμενος του μηδενός; Η συνέχεια αναγκαστικά γίνεται θεωρητική επινόηση, και το οικοδόμημα της Ανάλυσης προκύπτει λογικά όπως το διδασκόμαστε, αλλά παραμένει ένα διανοητικό δημιούργημα.

Το λέω αυτό λες και θα μπορούσε να ήταν και κάτι άλλο. Και όμως, η εντύπωση που έχω από τις γραμμές των γραφικών παραστάσεων είναι πως θα έπρεπε να είναι και κάτι παραπάνω από ένα απλό διανοητικό κατασκεύασμα. Ίσως να μη φταίει ο ορισμός, αλλά η δικιά μου αντιληπτική ικανότητα που χρησιμοποιεί οπτικές εντυπώσεις ανακριβείς για να σχηματίσει άποψη για πράγματα που πρέπει να είναι ακριβή. Ή μπορεί να φταίει το ότι προσπαθούμε να επιβάλλουμε στην πραγματικότητα τους αριθμούς, οι οποίοι στην περίπτωση αυτή είναι αποκλειστικά διανοητικά κατασκευάσματα.