Τα όρια κατά... Ανδρέα

Λοιπόν, αν προσθέσουμε μια απλή ανισότητα στον ορισμό του ορίου, δηλαδή αν ζητήσουμε το απόλυτο της διαφοράς του l από το f(x) να είναι μεγαλύτερο του μηδενός, τότε νομίζω πως θα εξασφαλίσουμε την αποφυγή αυτών των ενοχλητικών ταλαντώσεων γύρω από το όριο όσο πλησιάζουμε σε αυτό. Φυσικά αυτό θα σημαίνει πως δε θα μπορεί να οριστεί και όριο για σταθερές συναρτήσεις, αλλά μικρό το κακό. Άλλωστε, διαισθητικά δε στέκει να ρωτήσεις που τείνει η f(x) = c σε κάποιο σημείο του πεδίου ορισμού της...

Το πρόβλημα που δημιουργεί αυτός ο ορισμός είναι ότι χάνεσαι μέσα στο άπειρο καθώς προσεγγίζεις ένα σημείο όπως το μηδέν σε μια συνάρτηση όπως είναι η f(x)=xsin1/x για x διάφορο του μηδενός και μηδέν για x μηδέν. Φυσικά το πρόβλημα εξαφανίζεται όταν δούμε το πράγμα από τη σκοπιά του μηδενός, δηλαδή αν ξεκινήσουμε από το μηδέν και προχωρήσουμε, αλλά με τον ορισμό κάνουμε το ανάποδο, πάμε δηλαδή προς το όριο από κάπου μακρύτερα...

Τι θα γίνει αν αντί για τη διαφορά του l από το f(x) εξετάσουμε το άθροισμα; Έτσι μπορούμε να αλλάξουμε οπτική και από το να πλησιάζουμε στο όριο μπορούμε να απομακρυνόμαστε από αυτό. Αλλά ενώ θεωρητικά κάτι τέτοιο θα είχε πλεονεκτήματα, πρακτικά δεν μπορείς να βάλεις αυθαίρετα ένα πολύ μικρό x και να βρεις πολύ μικρά ε και δ... αφού το "δίπλα" στο l δεν υπάρχει, μιας και πάντα θα υπάρχει και κάτι πιο... "δίπλα", δηλαδή κάτι περισσότερο κοντινό στο l από αυτό που θα έχεις αυθαίρετα επιλέξει.

Είναι σαν από τη μια να πέφτεις στην παγίδα του απείρου όταν πας να προσεγγίσεις το όριο και ας είναι η περιοχή πάρα πολύ μικρή (οι ταλαντώσεις που λέγαμε) και από την άλλη να πέφτεις μέσα στην τρύπα του απείρου με το που πας να κάνεις ένα βήμα από το όριο προς τα "πέρα" (το αδύνατο του να βρεις τον αριθμό που έπεται του μηδενός, καθώς για κάθε αριθμό θα υπάρχει κάποιος μικρότερος και η ταλάντωση θα προκύπτει όσο κοντά και αν είσαι στο μηδέν)! Ό,τι και να κάνεις δεν ξεφεύγεις από την έννοια του απείρου. Εκτός και αν αποδεχτείς πως μπορεί να υπάρχει συνάρτηση συνεχής σε ένα σημείο της και ασυνεχής σε όλα τα άλλα!

Άρα συνεχίζουμε να πορευόμαστε με τον κλασσικό ορισμό των ορίων, με την επίγνωση πια ότι η συνέχεια δεν είναι και τόσο συνεχής και το πεπερασμένο διάστημα δεν είναι και τόσο πεπερασμένο. Είμαι περίεργος να δω πώς ακριβώς έλυσαν τα ζητήματα αυτά με τους αριθμούς και με την ευθεία των πραγματικών αριθμών, αλλά υποπτεύομαι πως οι λύσεις που θα έχουν δοθεί θα είναι προς την κατεύθυνση τεχνητών συμβάσεων που μας επιτρέπουν να κάνουμε δουλειά και όχι λύσεις που να είναι συμβατές με την διαισθητική μου αντίληψη για τα πράγματα. Επομένως θα μείνουμε στο επίπεδο της σύμβασης. Κρίμα, αλλά τι να κάνουμε;