Αψηφώντας τη βαρύτητα!

10^36. Τόσο ισχυρότερες, λέει το βιβλίο, είναι οι ηλεκτρομαγνητικές αλληλεπιδράσεις από τις βαρυτικές. Και αν το νούμερο μας φαίνεται εξωπραγματικό, μιας και έχουμε συνηθίσει να θεωρούμε την βαρύτητα πολύ ισχυρή, μιας και όλα τα αντικείμενα της καθημερινής μας ζωής πέφτουν στο πάτωμα αν τα αφήσουμε ελεύθερα, δεν έχουμε παρά να σκεφτούμε τα απλούστερα των πειραμάτων για τον ηλεκτρισμό. Αυτά που μαθαίναμε στο σχολείο με το ήλεκτρον - κεχριμπάρι που το τρίβουμε σε μια γούνα, ή τη χτένα που την τρίβουμε στα μαλλιά μας και μετά ακουμπάμε χαρτάκια τα οποία και κολλάνε στο αντικείμενο που έχουμε τρίψει - ηλεκτρίσει.

Τι σημαίνει ότι κολλάνε; Μπορεί αυτό που βλέπουμε να είναι εξαιρετικά απλό, αλλά αυτό που εννοείται είναι φοβερό. Ότι με λίγο τρίψιμο δημιουργήσαμε μια δύναμη πιο ισχυρή από τη βαρύτητα, μιας και τα χαρτάκια αντιστέκονται στην έλξη της Γης για όση ώρα διαρκεί το φαινόμενο που προκαλέσαμε με το τρίψιμο. Ένας ολόκληρος πλανήτης δηλαδή δεν μπορεί να συναγωνιστεί λίγο τρίψιμο!

Είναι φοβερό να συνειδητοποιώ για πρώτη φορά πόσο εύκολο είναι να συμπεράνει κανείς ότι ο ηλεκτρομαγνητισμός είναι πολύ ισχυρότερος από τη βαρύτητα. Απλά ουάου! Αλλά αυτό το δέκα στην τριακοστή έκτη δεν μπορώ να φανταστώ πώς προκύπτει. Τι σύγκριση πρέπει να γίνει για να μπορέσεις να βάλεις τις αλληλεπιδράσεις σε σειρά ισχύος; Μήπως ξέρει κανείς; Αν κρίνω από την αναγνωσιμότητα του blog μέχρι στιγμής, μάλλον μόνος μου θα πρέπει να ψάξω για την απάντηση στο ερώτημα αυτό!

ΟΚ, αυτό που σκέφτηκα είναι το εξής. Ή, μάλλον, αυτό στο οποίο κατέληξα μετά από σκέψη είναι το εξής. Γιατί, στο μεταξύ, έφτιαξα διάφορα σενάρια τα οποία χωλαίνουν στο ένα ή το άλλο σημείο.

Παίρνουμε ένα πρωτόνιο και ένα ηλεκτρόνιο. Υπολογίζουμε την ηλεκτρική τους αλληλεπίδραση. Υπολογίζουμε τη βαρυτική τους αλληλεπίδραση. Συγκρίνουμε τις δυο αλληλεπιδράσεις. Το αποτέλεσμα, μάλλον, θα είναι το περίφημο δέκα στην τριακοστή έκτη. Θα δοκιμάσω να το υπολογίσω καμιά μέρα άμα έχω χρόνο. Και χαρτί. Το laptop δε βολεύει καθόλου για εφαρμογές του νόμου του Νεύτωνα και του νόμου του Κουλόμπ!

Αναγνωρίζω εξ όνυχος τον λέοντα!

Διαβάζω τον δεύτερο τόμο της Φυσικής των Αλόνσο - Φινν. Στο απόσπασμα που παρατίθεται στην αρχή από το Opticks του Νεύτωνα, φαίνεται ανάγλυφη η μεγαλοφυΐα του μεγάλου φυσικού. Μπορεί να υπάρχουν και άλλες ελκτικές δυνάμεις, λέει, που παρουσιάζονται σε αποστάσεις τόσο μικρές, ώστε δεν τις έχουμε παρατηρήσει ακόμα. Και με μια του φράση προδιαγράφει την μετέπειτα εξέλιξη της φυσικής και την ανακάλυψη των ισχυρών και των ασθενών αλληλεπιδράσεων.

Με αυτόν τον τόμο σκοπεύω να κάνω μια εισαγωγή στον ηλεκτρομαγνητισμό. Η εισαγωγή είναι αρκετά επιβλητική. Τα περισσότερα φαινόμενα που παρατηρούμε γύρω μας, λέει, στα οποία συμπεριλαμβάνονται οι χημικές και οι βιολογικές διαδικασίες, είναι αποτέλεσμα των ηλεκτρομαγνητικών επιδράσεων ανάμεσα σε άτομα και μόρια. Αρκετά εντυπωσιακή πρόταση, που μου προκαλεί ενθουσιασμό. Βέβαια τελικά όλα καταλήγουν μάλλον στην κβαντομηχανική, για τις χημικές και τις βιολογικές διαδικασίες, αλλά ας κάνουμε indulge τον Αλόνσο και τον Φινν.

Αυτό που εμένα με ενδιαφέρει κυρίως είναι όχι τόσο η περιγραφή των ηλεκτρομαγνητικών φαινομένων, όσο η κατανόηση του γιατί τα φαινόμενα αυτά παρουσιάζονται. Επιθυμώ να κατανοήσω την φυσική πραγματικότητα κάτω από τις περιγραφές των νόμων του ηλεκτρομαγνητισμού. Αλλά δεν ξέρω πόσο μακρυά θα πάω με τη φυσική του δεκάτου ενάτου αιώνα. Είναι αδιαμφισβήτητο ότι η θεωρία των πεδίων μας βοηθά να δημιουργήσουμε ένα σωρό εφαρμογές που χρησιμοποιούν τον ηλεκτρομαγνητισμό. Χρήσιμη, αλλά με πόσο μεγάλη εξηγητική σημασία; Για την εποχή της, ήταν ένα σημαντικό άλμα προς τα εμπρός. Από τότε όμως η γνώση μας έχει αυξηθεί σημαντικά.

Στην φωτογραφία, ένας πίνακας του Blake για τον Νεύτωνα. Δεν είναι τυχαία η επιλογή μου. Ο μυστικιστής Blake ταιριάζει ωραία, στο μυαλό μου τουλάχιστον, με τον αλχημιστή Νεύτωνα.

Τα όρια κατά... Ανδρέα

Λοιπόν, αν προσθέσουμε μια απλή ανισότητα στον ορισμό του ορίου, δηλαδή αν ζητήσουμε το απόλυτο της διαφοράς του l από το f(x) να είναι μεγαλύτερο του μηδενός, τότε νομίζω πως θα εξασφαλίσουμε την αποφυγή αυτών των ενοχλητικών ταλαντώσεων γύρω από το όριο όσο πλησιάζουμε σε αυτό. Φυσικά αυτό θα σημαίνει πως δε θα μπορεί να οριστεί και όριο για σταθερές συναρτήσεις, αλλά μικρό το κακό. Άλλωστε, διαισθητικά δε στέκει να ρωτήσεις που τείνει η f(x) = c σε κάποιο σημείο του πεδίου ορισμού της...

Το πρόβλημα που δημιουργεί αυτός ο ορισμός είναι ότι χάνεσαι μέσα στο άπειρο καθώς προσεγγίζεις ένα σημείο όπως το μηδέν σε μια συνάρτηση όπως είναι η f(x)=xsin1/x για x διάφορο του μηδενός και μηδέν για x μηδέν. Φυσικά το πρόβλημα εξαφανίζεται όταν δούμε το πράγμα από τη σκοπιά του μηδενός, δηλαδή αν ξεκινήσουμε από το μηδέν και προχωρήσουμε, αλλά με τον ορισμό κάνουμε το ανάποδο, πάμε δηλαδή προς το όριο από κάπου μακρύτερα...

Τι θα γίνει αν αντί για τη διαφορά του l από το f(x) εξετάσουμε το άθροισμα; Έτσι μπορούμε να αλλάξουμε οπτική και από το να πλησιάζουμε στο όριο μπορούμε να απομακρυνόμαστε από αυτό. Αλλά ενώ θεωρητικά κάτι τέτοιο θα είχε πλεονεκτήματα, πρακτικά δεν μπορείς να βάλεις αυθαίρετα ένα πολύ μικρό x και να βρεις πολύ μικρά ε και δ... αφού το "δίπλα" στο l δεν υπάρχει, μιας και πάντα θα υπάρχει και κάτι πιο... "δίπλα", δηλαδή κάτι περισσότερο κοντινό στο l από αυτό που θα έχεις αυθαίρετα επιλέξει.

Είναι σαν από τη μια να πέφτεις στην παγίδα του απείρου όταν πας να προσεγγίσεις το όριο και ας είναι η περιοχή πάρα πολύ μικρή (οι ταλαντώσεις που λέγαμε) και από την άλλη να πέφτεις μέσα στην τρύπα του απείρου με το που πας να κάνεις ένα βήμα από το όριο προς τα "πέρα" (το αδύνατο του να βρεις τον αριθμό που έπεται του μηδενός, καθώς για κάθε αριθμό θα υπάρχει κάποιος μικρότερος και η ταλάντωση θα προκύπτει όσο κοντά και αν είσαι στο μηδέν)! Ό,τι και να κάνεις δεν ξεφεύγεις από την έννοια του απείρου. Εκτός και αν αποδεχτείς πως μπορεί να υπάρχει συνάρτηση συνεχής σε ένα σημείο της και ασυνεχής σε όλα τα άλλα!

Άρα συνεχίζουμε να πορευόμαστε με τον κλασσικό ορισμό των ορίων, με την επίγνωση πια ότι η συνέχεια δεν είναι και τόσο συνεχής και το πεπερασμένο διάστημα δεν είναι και τόσο πεπερασμένο. Είμαι περίεργος να δω πώς ακριβώς έλυσαν τα ζητήματα αυτά με τους αριθμούς και με την ευθεία των πραγματικών αριθμών, αλλά υποπτεύομαι πως οι λύσεις που θα έχουν δοθεί θα είναι προς την κατεύθυνση τεχνητών συμβάσεων που μας επιτρέπουν να κάνουμε δουλειά και όχι λύσεις που να είναι συμβατές με την διαισθητική μου αντίληψη για τα πράγματα. Επομένως θα μείνουμε στο επίπεδο της σύμβασης. Κρίμα, αλλά τι να κάνουμε;

Ωχ...

Να δω πώς θα μελετάω όλα αυτά τα ενδιαφέροντα θέματα τώρα που θα ξεκινήσω ειδικότητα!

Όρια, αλλά ποια όρια;

Ώστε για αυτό ξεκινάει με ανισότητες το βιβλίο του ο Ρασσιάς! Οι ανισότητες παίζουν τον κεντρικό ρόλο στον ορισμό του ορίου. Χάθηκε όμως να το εξηγήσει και αυτός ο άνθρωπος, παρά μας πετάει τις ανισότητες και μένουμε με την απορία γιατί να αρχίζει έτσι ένα βιβλίο για την Ανάλυση; Αυτός ο παραγωγικός τρόπος που σου πετάνε μερικά θεωρήματα και ορισμούς και μετά χτίζουν ένα οικοδόμημα μου φαίνεται τελείως σπαστικός. Μπορεί να καταλαβαίνεις τη χρησιμότητά τους με τον καιρό και έτσι να σου φαίνονται χρήσιμα αυτά που έμαθες επειδή κάποιος αποφάσισε να τα μάθεις, αλλά δεν παύει να είναι προβληματικό να κρύβεις κάτω από μια επίφαση λογικού οικοδομήματος τη βρώμικη δουλειά που χρειάστηκε για να φτάσουμε εκεί που φτάσαμε.

Εγώ δε θέλω απλά να μπω στο οικοδόμημα και να το κατοικήσω, αλλά να μάθω πώς χτίστηκε και να συμμετέχω και εγώ στο χτίσιμο. Άρα μου χρειάζεται ένας άλλος τρόπος εκμάθησης αλλά αφού δε βρίσκω το κατάλληλο βιβλίο, θα πρέπει να συνθέσω τα πράγματα στο μυαλό μου εκ των ενόντων. Για να γίνει αυτό θα πρέπει να περάσει αρκετός καιρός. Για να δούμε τι θα καταφέρουμε τελικά...

Το κεφάλαιο του Spivak ξεκινάει με έναν δοκιμαστικό ορισμό του ορίου, και στη συνέχεια τον μεταφράζει, με τη βοήθεια των ανισοτήτων, σε έναν ακριβή μαθηματικό ορισμό, τον οποίο και χρησιμοποιεί για να ελέγξει μερικά συγκεκριμένα όρια και να διατυπώσει ορισμένα θεωρήματα. Τώρα καταλαβαίνουμε και τι είναι αυτά τα ε - δ ή δ - ε που είχαμε δει προηγουμένως. Ο ορισμός του ορίου είναι πραγματικά σαφής και ακριβής και πάνω σε αυτόν μπορεί να χτιστεί ένα ολόκληρο οικοδόμημα, αλλά έχει κάτι που δε μου αρέσει.

Είχα μιλήσει και σε προηγούμενη ανάρτηση για μια συνάρτηση που κάνει ταλαντώσεις καθώς σταδιακά μικραίνουν οι τιμές της, παίρνοντας την τιμή μηδέν για τους άρρητους του πεδίου ορισμού της και την τιμή του αριθμού για τους ρητούς. Δε μου πάει να λέω πως αυτή η συνάρτηση έχει όριο στο μηδέν το μηδέν. Μηδέν - κάτι θετικό, μηδέν - κάτι μικρότερο θετικό, μηδέν, κάτι ακόμα πιο μικρό θετικό, και το όριο να είναι μηδέν; Αφού πάει στο μηδέν και φεύγει από αυτό προς τα πάνω, για να ξαναπέσει σε αυτό και να ξαναφύγει. Και αντίστοιχα για τους αρνητικούς αριθμούς. Γιατί να πω το όριο μηδέν;

Φυσικά, ο ορισμός ικανοποιείται και έτσι με βάση αυτόν λέμε πως το όριο είναι μηδέν. Αλλά μήπως αυτό δείχνει πως πρέπει να τροποποιήσουμε τον ορισμό; Πως οι ανισότητες δεν είναι αρκετά περιοριστικές; Πως αφήνεται χώρος για διάφορες ιδιορρυθμίες ανάμεσα στις δυο γραμμές του συμβόλου "<";

Βέβαια, από την άλλη, αναρωτιέμαι και ποιος είμαι εγώ που θα αμφισβητήσω τον ορισμό! Τόσοι μαθηματικοί τον μελέτησαν τον τελευταίο αιώνα και δεν τον τροποποίησαν, προφανώς θα είναι εξαιρετικά χρήσιμος και με πολλά πλεονεκτήματα. Γιατί να διαλέξω ορισμό με βάση αυτό που μου φαίνεται καλό διαισθητικά; Αλλά και πάλι, με ποια βάση να φτιάξει κανείς έναν ορισμό; Αν πούμε όχι στη διαίσθηση, ποιο θα είναι το κριτήριο με το οποίο θα επιλέγουμε τον καλύτερο ορισμό;

Άλλωστε, με τον ορισμό αυτόν ικανοποιείται και η διπλή μας απαίτηση για απειρία σημείων αλλά και πέρας, στο χαρτί, μιας συνάρτησης. Έτσι, μια συνεχής συνάρτηση με άπειρες ταλαντώσεις καθώς πλησιάζει π.χ. στο μηδέν τα πάει περίφημα με τον ορισμό, αλλά μήπως αυτό συμβαίνει επειδή ο ορισμός φτιάχτηκε ώστε να τα πηγαίνει καλά μαζί της; Όσο περισσότερο εξοικειώνομαι με τον Spivak, τόσο περισσότερα πράγματα μένουν ανοιχτά.

Έχω κολλήσει με αυτήν τη συνάρτηση. Γιατί π.χ. δε με ενοχλεί η ημίτονο ένα προς χ για χ διάφορο του μηδέν και μηδέν για χ μηδέν, αλλά με ενοχλεί η μηδέν για χ άρρητο και χ για χ ρητό; Το μάτι μου "καταλαβαίνει" την πρώτη γιατί το σχήμα παρουσιάζει μια συνέχεια, η γραμμή είναι ενιαία στην γραφική παράσταση και άρα μπορώ να καταλάβω πως κοντά στο μηδέν η συνάρτηση θα τείνει σε αυτό, ή, αν θέλετε, αμέσως μετά το μηδέν θα "ξεκινάει" η συνάρτηση και θα πηγαίνει προς μια κατεύθυνση η γραφική παράσταση. Ενώ η άλλη συνάρτηση δεν έχει καμία τέτοια συνέχεια στην γραφική της παράσταση και όμως αναγκαζόμαστε να την πούμε συνεχή στο μηδέν εξαιτίας του ορισμού χωρίς να είναι συνεχής σε κανένα άλλο σημείο της! Ωραία συνέχεια!

Να που τώρα αρχίζω να συνειδητοποιώ γιατί ο Spivak ξεκινάει με τους αριθμούς και γιατί είχα διαβάσει πως κατεβλήθησαν τόσες ανθρώπινες προσπάθειες για να μελετηθούν και να θεμελιωθούν οι αριθμοί και η ευθεία των πραγματικών αριθμών... Μάλλον πρέπει να μάθω για αυτές τις προσπάθειες και να δω αν με ικανοποιούν τα αποτελέσματα... Τι νόημα έχει να μιλάμε για ευθεία, τι στιγμή που δεν μπορούμε να πούμε πως ο τάδε αριθμός είναι ο επόμενος του μηδενός; Η συνέχεια αναγκαστικά γίνεται θεωρητική επινόηση, και το οικοδόμημα της Ανάλυσης προκύπτει λογικά όπως το διδασκόμαστε, αλλά παραμένει ένα διανοητικό δημιούργημα.

Το λέω αυτό λες και θα μπορούσε να ήταν και κάτι άλλο. Και όμως, η εντύπωση που έχω από τις γραμμές των γραφικών παραστάσεων είναι πως θα έπρεπε να είναι και κάτι παραπάνω από ένα απλό διανοητικό κατασκεύασμα. Ίσως να μη φταίει ο ορισμός, αλλά η δικιά μου αντιληπτική ικανότητα που χρησιμοποιεί οπτικές εντυπώσεις ανακριβείς για να σχηματίσει άποψη για πράγματα που πρέπει να είναι ακριβή. Ή μπορεί να φταίει το ότι προσπαθούμε να επιβάλλουμε στην πραγματικότητα τους αριθμούς, οι οποίοι στην περίπτωση αυτή είναι αποκλειστικά διανοητικά κατασκευάσματα.

Μονοκοντυλιές(;) ή περί συνέχειας

Ώρα για το επόμενο βήμα μου. Αποφάσισα να διαβάσω το κεφάλαιο περί συνέχειας από τον Spivak, μιας και τις βρίσκω παντού μπροστά μου τις συνεχείς συναρτήσεις όταν μελετώ τις παραγώγους.

Το κεφάλαιο ξεκινάει ημι-παραγωγικά ημι-πειραματικά, μιας και αρχίζει με την εξερεύνηση της ισότητας - ορισμού της συνέχειας μέσα από σχετικά παραδείγματα γραφικών παραστάσεων. Εμένα θα με ενδιέφερε περισσότερο να άρχιζε από τον λόγο που φτάσαμε να μιλάμε για συνέχεια, να εξηγούσε δηλαδή ποιους σκοπούς εξυπηρετούσε η ανάδειξη της συνέχειας και ο ορισμός της πριν πάει κατευθείαν σε αυτήν.

Το δεύτερο που θέλω να σημειώσω είναι πως πάλι βρίσκω μπροστά μου τα όρια. Η εντύπωση που έχω σχηματίσει είναι πως τα όρια είναι ίσως η πιο σημαντική έννοια στον απειροστικό λογισμό και για αυτόν τον λόγο σκοπεύω να μελετήσω το αντίστοιχο κεφάλαιο μόλις ολοκληρώσω το κομμάτι της συνέχειας. Μόλις τελειώσω και τα όρια από τον Spivak, θα πιάσω παραγώγους, συνέχεια και όρια από τον Ρασσιά, για να έχω μια σφαιρικότερη εικόνα. Επίσης θα προσπαθήσω να βρω κανένα ενδιαφέρον άρθρο για το πώς εξελίχθηκε ο απειροστικός λογισμός τον 18ο και τον 19ο αιώνα, για να εμβαθύνω στους λόγους για τους οποίους αναπτύχθηκαν οι συγκεκριμένες έννοιες και στους διαφορετικούς τρόπους που χρησιμοποιήθηκαν για να προσεγγιστούν.

Εντύπωση μου κάνει μια παρατήρηση του συγγραφέα ότι μπορεί εύκολα να πέσει κανείς σε πλάνη με την διαισθητική αντίληψη περί συνέχειας, αλλά δε δίνει σχετικά παραδείγματα. Θα έχω τα μάτια μου ανοιχτά για σχετικά παραδείγματα κατά τη συνέχεια της μελέτης στο βιβλίο.

Η αλήθεια είναι πως εντόπισα ένα παρεμφερές παράδειγμα, με τη συνάρτηση που παίρνει την τιμή του αριθμού αν αυτός είναι ρητός και του μηδενός αν ο αριθμός είναι άρρητος. Αυτή η συνάρτηση, που κύριος οίδεν ποιος και γιατί τη σκέφτηκε, έχει μια παράξενη γραφική παράσταση και το όριό της στο μηδέν, λέει ο Spivak, είναι ίδιο με την τιμή της στο μηδέν, δηλαδή μηδέν, και επομένως είναι συνεχής στο μηδέν. Αυτό διαισθητικά δεν προκύπτει από πουθενά. Γιατί να υπάρχει όριο από μια συνάρτηση που ταλαντώνεται επ' άπειρον μεταξύ μηδενός και αριθμών διαφόρων του μηδενός, ακόμα και αν αυτοί οι αριθμοί προσεγγίζουν το μηδέν όσο μικραίνει το πεδίο ορισμού; Αυτή η "ταλάντωση" δε φαίνεται πουθενά και η συνάρτηση χαρακτηρίζεται συνεχής στο μηδέν! Η συνέχεια δηλαδή δε μας προστατεύει και τόσο από τις "ανωμαλίες" στις συναρτήσεις όπως διατείνεται ο Spivak.

Τώρα που μιλάμε για αυτήν τη συνάρτηση, για να δούμε είναι παραγωγίσιμη στο μηδέν; Σύμφωνα με τον ορισμό της παραγώγου, πρέπει να εξετάσουμε το όριο του λόγου της συνάρτησης στο h προς το h όταν το h τείνει στο μηδέν, αλλά για να το λύσουμε οριστικά αυτό πρέπει να εμβαθύνουμε στα όρια, οπότε θα το αφήσω για άσκηση όταν κάνω και το κεφάλαιο των ορίων. Περιμένω με ενδιαφέρον την απάντηση!

Μετά από αυτό, ο Spivak εξετάζει τη συνέχεια ορισμένων πολύ απλών συναρτήσεων και δείχνει με βάση τον ορισμό γιατί είναι συνεχείς και μας δείχνει ορισμένα θεωρήματα που έχουν να κάνουν με σύνθετες συναρτήσεις συνεχών συναρτήσεων τα οποία θα φαίνονται χρήσιμα στους χειρισμούς περισσότερο πολύπλοκων συναρτήσεων.

Μια άλλη παράξενη συνάρτηση που αναφέρει το βιβλίο είναι αυτή του Thomae, η οποία υποτίθεται πως είναι συνεχής στους άρρητους αριθμούς! Διαισθητικά πρόκειται για άλλο ένα συμπέρασμα που δε βγάζει νόημα, οπότε θα πρέπει να το μελετήσουμε με βάση τον ορισμό του ορίου όταν θα δούμε και το αντίστοιχο κεφάλαιο.

Για μερικές δε από τις αποδείξεις των θεωρημάτων για τον χειρισμό περισσότερο πολύπλοκων συναρτήσεων, χρησιμοποιείται ε-δ απόδειξη, με βάση δηλαδή τον ορισμό του ορίου που φαίνεται να χρησιμοποιεί το βιβλίο. Γι' αυτόν τον λόγο αυτά θα τα εκτιμήσουμε καλύτερα μόλις κάνουμε και τα όρια.

OMG! Διάβαζα τώρα σε ένα άρθρο ότι όταν ο Newton και ο Leibniz διατύπωναν τις αντιλήψεις τους για την Ανάλυση, δεν είχαν χρησιμοποιήσει ανισότητες, ενώ τώρα η μοντέρνα Ανάλυση βασίζεται σε άλγεβρα ανισοτήτων και σε αποδείξεις δ-ε που έχουν να κάνουν με ανισότητες! Θα δούμε αργότερα τι σημαίνει αυτό, αλλά αν οι ιδρυτές της σύγχρονης Ανάλυσης δεν είχαν χρησιμοποιήσει αυτές τις ανισότητες, τότε πώς είχαν ορίσει τα όρια και πώς εννοούσαν την Ανάλυση;

Εκεί που το ενδιαφέρον κορυφώνεται, πρέπει να κλείσουμε την ανάρτηση, αν και δε νιώθω πως έγινα σοφότερος σήμερα. Sorry Michael (εννοώ τον Spivak)! Σαν τις σειρές στην τηλεόραση:

TO BE CONTINUED

Ξεκινώντας το ταξίδι στην Ανάλυση

Για την Μαθηματική Ανάλυση Ι πήρα το βιβλίο του Ρασσιά. Είχα διαβάσει πολύ καλές κριτικές. Και επίσης είχα από παλιά το βιβλίο του Spivak, το οποίο δεν είχα διαβάσει πέρα από τις πρώτες σελίδες. Καιρός λοιπόν να το μελετήσω συστηματικά. Άλλωστε, χρησιμοποιώντας και τα δυο βιβλία θα έχω μια πληρέστερη εποπτεία του αντικειμένου.

Από μια πρώτη γρήγορη ματιά στο κομμάτι της παραγώγου, ο Διαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισμός του Spivak μου φαίνεται πιο "πειραματικός" στην προσέγγιση που ακολουθεί, πιο "επαγωγικός", ενώ ο Ρασσιάς πιο "παραγωγικός" και "ξερός", με την έννοια ότι σου πετάει τους ορισμούς χωρίς όμως να το έχει παιδέψει το πράγμα και να σου έχει δώσει να καταλάβεις γιατί μελετάμε αυτούς τους συγκεκριμένους ορισμούς και όχι κάποιους άλλους και πώς φτάσαμε σε αυτούς.

Αυτό που θέλω εγώ από τη μελέτη που σκοπεύω να κάνω δεν είναι να αποκτήσω ξερές γνώσεις και τεχνικές όπως γίνεται συνήθως στο εκπαιδευτικό σύστημα. Άλλωστε εγώ δεν είμαι τυπικός εκπρόσωπος του εκπαιδευτικού συστήματος στην παρούσα φάση. Μελετάω αποκλειστικά και μόνο από περιέργεια, μεράκι και πάθος για τη γνώση. Ζητάω να καταλάβω τις βασικές έννοιες και να λύσω πολλές απορίες αντιλαμβανόμενος τη χρησιμότητα που έχουνε στα μαθηματικά και τη φυσική.

Γι' αυτόν τον λόγο αποφάσισα να ξεκινήσω ανορθόδοξα τη μελέτη της ανάλυσης. Όσες φορές προσπάθησα να ξεκινήσω από την αρχή το βιβλίο του Ρασσιά βαρέθηκα μετά από λίγο, οπότε τώρα θα ξεκινήσω από το κεφάλαιο της παραγώγου και θα προχωράω τα βιβλία και προς τις 2 κατευθύνσεις, ανάλογα με το πού με πάνε οι ερωτήσεις που θα μου δημιουργούνται.

Με μια ιδέα που πήρα καθώς τελείωνα το βιβλίο του Lindberg ξεκινάω την ανάλυση με σκοπό να καταλάβω μερικά συγκεκριμένα πράγματα.

Στο κομμάτι των μαθηματικών, θέλω να μάθω πώς βρίσκουμε την εφαπτομένη σε ένα σημείο μιας καμπύλης και πως βρίσκουμε το εμβαδόν που περικλείεται σε μια επιφάνεια.

Στο κομμάτι της φυσικής, θέλω να μάθω πώς βρίσκουμε τη στιγμιαία ταχύτητα, την επιτάχυνση και να σκεφτώ τι νόημα έχουν αυτές οι έννοιες, ποια είναι η φυσική τους σημασία, αν υπάρχουν άλλες έννοιες με πιο "πραγματική" φυσική σημασία και ποιες έννοιες είναι περισσότερο "κατάλληλες" για την περιγραφή μιας κίνησης.

Νομίζω πως είναι περιττό να αναφέρω πως έχω ξεχάσει ό,τι ήξερα από τα Μαθηματικά της Τρίτης Λυκείου (και ήμουν άριστος σε αυτά!), επομένως όλα θα τα ξαναμάθω από την αρχή.

Έχω τελειώσει το κεφάλαιο 9 του Spivak (7η έκδοση - 2001), αλλά δεν έχω ακόμα δει τις ασκήσεις στο τέλος του κεφαλαίου. Το ζουμί, κατά τη γνώμη μου βρίσκεται στην αρχή, γιατί εκεί γίνεται η προσπάθεια να καταλάβουμε τι είναι η παράγωγος.

Το κεφάλαιο ξεκινά με μια εποπτική - διαισθητική προσέγγιση, όπου ο αναγνώστης καλείται να εκτιμήσει το πρόβλημα της εφαπτομένης με γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων που περιλαμβάνουν σημεία στα οποία η ιδέα της εφαπτομένης είναι προβληματική. Με αφορμή αυτό, ο συγγραφέας μας βάζει κατευθείαν στα βαθιά των μαθηματικών, γιατί μας πάει στη συμπεριφορά των συναρτήσεων, στη φύση τους και στις διάφορες ομάδες που υπάρχουν ή που, τέλος πάντων, εμείς μπορούμε να σχηματίσουμε. Αν και αυτή η πλευρά έχει μεγάλο ενδιαφέρον, εγώ προς το παρόν νομίζω πως θα αρκεστώ με το τεράστιο πρόβλημα της εύρεσης εφαπτομένης ενός σημείου μιας καμπύλης.

Στη συνέχεια γίνεται μια προσπάθεια να καταλάβουμε πως δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον ορισμό της εφαπτομένης όπως τον ξέρουμε για τον κύκλο από τη γεωμετρία και για τις υπόλοιπες καμπύλες και αφού το πρόβλημα είναι πια στο προσκήνιο γίνεται και μια προσπάθεια προσέγγισής του που έχει να κάνει με τις τέμνουσες και ενσωματώνει τη γνώση για τα όρια, γνώση που θα την μελετήσω αργότερα.

Τι κάνει λοιπόν; Παίρνει μια τέμνουσα, βρίσκει την εφαπτομένη της ευθείας αυτής και προσπαθεί να μικρύνει όσο γίνεται τη διαφορά μεταξύ των δύο σημείων που ορίζουν την τέμνουσα. Στην προσπάθεια να γίνει αυτή η διαφορά απείρως (εξ ου και απειροστικός λογισμός, γιατί το εννοιολογικό πλαίσιο που σχετίζεται με το άπειρο παίζει σημαντικό ρόλο, από ό,τι έχω καταλάβει, στην ανάλυση) μικρή, χρησιμοποιείται η έννοια του ορίου, και συγκεκριμένα εξετάζεται το όριο της εφαπτομένης της τέμνουσας όταν η διαφορά των δύο σημείων της καμπύλης που ορίζουν την τέμνουσα τείνει να μηδενιστεί. Αυτό το όριο είναι η παράγωγος της συνάρτησης σε αυτό το σημείο και με βάση αυτό ορίζεται η εφαπτομένης της καμπύλης στο σημείο αυτό.

Τα πράγματα είναι αρκετά ξεκάθαρα λοιπόν και για να γίνουν ακόμα πιο ξεκάθαρα θα πρέπει να ρίξουμε φως στην έννοια του ορίου. Υποπτεύομαι πως το όριο έχει τόση έννοια όση και το σημείο σε μια συνάρτηση. Μπορεί εμείς να θεωρούμε πως το σημείο έχει νόημα και πραγματικά να θεωρούμε τουλάχιστον τα σημεία που αντιστοιχούν σε συγκεκριμένους αριθμούς έχουν νόημα, αλλά δε νομίζω πως η φυσική πραγματικότητα εμπεριέχει απείρως μικρές περιοχές χώρου και δε νομίζω πως και κάτι τέτοιο βγάζει νόημα από λογικής πλευράς, επομένως ο χειρισμός με τα όρια για την εφαπτομένη σε σημείο είναι αρκετά καλός.

Στη συνέχεια ο Spivak το κάνει ακόμα πιο ενδιαφέρον, εξηγώντας πως ο τύπος για την εφαπτομένη της τέμνουσας που χρησιμοποιήσαμε προηγουμένως, όταν εφαρμοστεί σε μια ειδική συνάρτηση, αυτήν της απόστασης συναρτήσει του χρόνου για μια ευθύγραμμη κίνηση, μας δίνει τη μέση ταχύτητα, μια υποθετική ταχύτητα με την οποία αν κινούταν συνεχώς το κινητό θα είχε διανύσει την ίδια απόσταση στον ίδιο χρόνο. Το αντίστοιχο όριο για ένα σημείο της γραφικής παράστασης, η μέση ταχύτητα δηλαδή για δυο σημεία με διαφορά απείρως μικρή το ένα από το άλλο, αποτελεί αυτό που λέμε στιγμιαία ταχύτητα.

Με βάση αυτά που είπαμε προηγουμένως, εγείρονται ερωτήματα και για τη σχέση της στιγμιαίας ταχύτητας με την πραγματικότητα και άρα και της ταχύτητας γενικότερα. Μπορεί ως θεωρητικές αφαιρέσεις να είναι εξαιρετικές και με μεγάλη χρησιμότητα, αλλά ποια μεγέθη έχουν αντιστοιχία με φυσικές πραγματικότητες; Φυσικά όλος ο προβληματισμός θα μπορούσε να καταπέσει αν οριζόταν η παράγωγος με διαφορετικό τρόπο, αλλά όσο έχουμε τα όρια μέσα στον ορισμό, και τα σημεία μέσα σε μια συνεχή συνάρτηση, το ζήτημα παραμένει.

Μετά ο Spivak ορίζει τον ρυθμό μεταβολής και υπολογίζει παραγώγους για ορισμένες απλές συναρτήσεις χρησιμοποιώντας τον ορισμό. Αργότερα παρουσιάζεται ο συμβολισμός που χρησιμοποίησε ο Leibniz (εδώ πρέπει να πω πως έχω συνηθίσει τον συμβολισμό του Lagrange) και συνεχίζουμε με αποδείξεις γιατί ορισμένες απλές συναρτήσεις δεν έχουν παραγώγους, πάλι δουλεύοντας με τον ορισμό.

Στη συνέχεια εξερευνάται η σχέση συνέχειας - παραγώγου με τη διατύπωση του θεωρήματος ότι αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο, τότε θα είναι συνεχής και στο σημείο αυτό. Με λίγα λόγια, η συνέχεια είναι προαπαιτούμενο για την παραγώγιση, μια σχέση που διαισθητικά εντόπισα και νωρίτερα. Η απόδειξη του θεωρήματος γίνεται με παραγωγικό τρόπο και αυτό δε μου πολυαρέσει. Θα προσπαθήσω να επανέλθω αργότερα για να δω τι άλλο θα μπορούσε να γίνει.

Σημειώνεται βέβαια πως το αντίστροφο δεν ισχύει και πως υπάρχουν ένα σωρό συνεχείς συναρτήσεις που μπορεί να μην είναι παραγωγίσιμες σε σημεία του πεδίου ορισμού τους, είτε πρόκειται για ένα σημείο ή για μερικά σημεία, είτε ακόμα και για άπειρα σημεία. Δίνονται ορισμένα παραδείγματα και εδώ γίνεται και μια πρόκληση από τον Spivak, με την παρουσίαση μιας συνάρτησης που είναι συνεχής παντού αλλά πουθενά παραγωγίσιμη και την οποία θα ορίσει στο κεφάλαιο για την ομοιόμορφη σύγκλιση και τις δυναμοσειρές. Θα περιμένω με μεγάλο ενδιαφέρον να δω πως θα χειριστεί αυτήν την συνεχή συνάρτηση που έχει άπειρες αιχμές. Κατά τη γνώμη μου, το παράδειγμα που χρησιμοποιεί ενισχύει τη γνώμη ότι η μαθηματική έννοια της συνέχειας δεν ταυτίζεται με την διαισθητική εικόνα μιας γραφικής παράστασης μιας συνεχούς συνάρτησης που έχουμε στο μυαλό μας.

Τα παραδείγματα συνεχίζονται, με μια συνάρτηση που περιέχει τη συνάρτηση του ημιτόνου και μια άλλη συνάρτηση, της οποίας ο ορισμός δεν αποκαλύπτεται και του οποίου η εύρεση αφήνεται ως πρόκληση - άσκηση για τον αναγνώστη. Για να δούμε, θα καταφέρω κάποτε να τον βρω; Στην δε συνάρτηση με το ημίτονο, το "πρόβλημα" στον σχεδιασμό της γραφικής παράστασης όταν πλησιάζουμε το σημείο Ο συσχετίζεται με την έλλειψη παραγώγου σε αυτό το σημείο, οπότε η παράγωγος μπορεί να μας φανεί χρήσιμη στην εξερεύνηση συναρτήσεων, αλλά γρήγορα διαπιστώνουμε πως υπάρχουν και άλλες συναρτήσεις που στο μάτι φαίνεται να έχουν παρόμοιο πρόβλημα στο Ο, που όμως έχουν παράγωγο στο σημείο αυτό. Επομένως πρέπει να διερευνηθεί και αυτό το ζήτημα.

Τέλος, δίνονται οι ορισμοί για παραγώγους μεγαλύτερης τάξεως μιας συνάρτησης. Με αυτό το εργαλείο διερευνούμε το ζήτημα που δημιούργησαν οι συναρτήσεις που μόλις αναφέραμε, καθώς το "πρόβλημα" θα εμφανιστεί κάποια στιγμή όσο διερευνούμε παραγώγους μεγαλύτερης τάξης αυτού του είδους των συναρτήσεων. Δε γίνεται όμως έτσι εύκολα να γενικεύσουμε, οπότε και θα έχει ενδιαφέρον η συνέχεια μελέτης των διαφόρων συναρτήσεων.

Από τα παραπάνω γίνεται σαφές πως έχουμε επινοήσει ένα σημαντικό εργαλείο μαθηματικής εξερεύνησης, με το οποίο μπορούμε να μελετήσουμε καλύτερα μαθηματικά αντικείμενα (τις συναρτήσεις), αλλά και να το χρησιμοποιήσουμε για την προσέγγιση του φυσικού κόσμου. Η συνέχεια θα είναι ενδιαφέρουσα, αρκεί να μη χάνουμε από το πεδίο της προσοχής μας τους κύριους στόχους μας.

Στη φωτογραφία εικονίζεται ο Gottfried Leibniz, έτσι, για να τη σπάσουμε στον Νεύτωνα.