Ώρα για το επόμενο βήμα μου. Αποφάσισα να διαβάσω το κεφάλαιο περί συνέχειας από τον Spivak, μιας και τις βρίσκω παντού μπροστά μου τις συνεχείς συναρτήσεις όταν μελετώ τις παραγώγους.
Το κεφάλαιο ξεκινάει ημι-παραγωγικά ημι-πειραματικά, μιας και αρχίζει με την εξερεύνηση της ισότητας - ορισμού της συνέχειας μέσα από σχετικά παραδείγματα γραφικών παραστάσεων. Εμένα θα με ενδιέφερε περισσότερο να άρχιζε από τον λόγο που φτάσαμε να μιλάμε για συνέχεια, να εξηγούσε δηλαδή ποιους σκοπούς εξυπηρετούσε η ανάδειξη της συνέχειας και ο ορισμός της πριν πάει κατευθείαν σε αυτήν.
Το δεύτερο που θέλω να σημειώσω είναι πως πάλι βρίσκω μπροστά μου τα όρια. Η εντύπωση που έχω σχηματίσει είναι πως τα όρια είναι ίσως η πιο σημαντική έννοια στον απειροστικό λογισμό και για αυτόν τον λόγο σκοπεύω να μελετήσω το αντίστοιχο κεφάλαιο μόλις ολοκληρώσω το κομμάτι της συνέχειας. Μόλις τελειώσω και τα όρια από τον Spivak, θα πιάσω παραγώγους, συνέχεια και όρια από τον Ρασσιά, για να έχω μια σφαιρικότερη εικόνα. Επίσης θα προσπαθήσω να βρω κανένα ενδιαφέρον άρθρο για το πώς εξελίχθηκε ο απειροστικός λογισμός τον 18ο και τον 19ο αιώνα, για να εμβαθύνω στους λόγους για τους οποίους αναπτύχθηκαν οι συγκεκριμένες έννοιες και στους διαφορετικούς τρόπους που χρησιμοποιήθηκαν για να προσεγγιστούν.
Εντύπωση μου κάνει μια παρατήρηση του συγγραφέα ότι μπορεί εύκολα να πέσει κανείς σε πλάνη με την διαισθητική αντίληψη περί συνέχειας, αλλά δε δίνει σχετικά παραδείγματα. Θα έχω τα μάτια μου ανοιχτά για σχετικά παραδείγματα κατά τη συνέχεια της μελέτης στο βιβλίο.
Η αλήθεια είναι πως εντόπισα ένα παρεμφερές παράδειγμα, με τη συνάρτηση που παίρνει την τιμή του αριθμού αν αυτός είναι ρητός και του μηδενός αν ο αριθμός είναι άρρητος. Αυτή η συνάρτηση, που κύριος οίδεν ποιος και γιατί τη σκέφτηκε, έχει μια παράξενη γραφική παράσταση και το όριό της στο μηδέν, λέει ο Spivak, είναι ίδιο με την τιμή της στο μηδέν, δηλαδή μηδέν, και επομένως είναι συνεχής στο μηδέν. Αυτό διαισθητικά δεν προκύπτει από πουθενά. Γιατί να υπάρχει όριο από μια συνάρτηση που ταλαντώνεται επ' άπειρον μεταξύ μηδενός και αριθμών διαφόρων του μηδενός, ακόμα και αν αυτοί οι αριθμοί προσεγγίζουν το μηδέν όσο μικραίνει το πεδίο ορισμού; Αυτή η "ταλάντωση" δε φαίνεται πουθενά και η συνάρτηση χαρακτηρίζεται συνεχής στο μηδέν! Η συνέχεια δηλαδή δε μας προστατεύει και τόσο από τις "ανωμαλίες" στις συναρτήσεις όπως διατείνεται ο Spivak.
Τώρα που μιλάμε για αυτήν τη συνάρτηση, για να δούμε είναι παραγωγίσιμη στο μηδέν; Σύμφωνα με τον ορισμό της παραγώγου, πρέπει να εξετάσουμε το όριο του λόγου της συνάρτησης στο h προς το h όταν το h τείνει στο μηδέν, αλλά για να το λύσουμε οριστικά αυτό πρέπει να εμβαθύνουμε στα όρια, οπότε θα το αφήσω για άσκηση όταν κάνω και το κεφάλαιο των ορίων. Περιμένω με ενδιαφέρον την απάντηση!
Μετά από αυτό, ο Spivak εξετάζει τη συνέχεια ορισμένων πολύ απλών συναρτήσεων και δείχνει με βάση τον ορισμό γιατί είναι συνεχείς και μας δείχνει ορισμένα θεωρήματα που έχουν να κάνουν με σύνθετες συναρτήσεις συνεχών συναρτήσεων τα οποία θα φαίνονται χρήσιμα στους χειρισμούς περισσότερο πολύπλοκων συναρτήσεων.
Μια άλλη παράξενη συνάρτηση που αναφέρει το βιβλίο είναι αυτή του Thomae, η οποία υποτίθεται πως είναι συνεχής στους άρρητους αριθμούς! Διαισθητικά πρόκειται για άλλο ένα συμπέρασμα που δε βγάζει νόημα, οπότε θα πρέπει να το μελετήσουμε με βάση τον ορισμό του ορίου όταν θα δούμε και το αντίστοιχο κεφάλαιο.
Για μερικές δε από τις αποδείξεις των θεωρημάτων για τον χειρισμό περισσότερο πολύπλοκων συναρτήσεων, χρησιμοποιείται ε-δ απόδειξη, με βάση δηλαδή τον ορισμό του ορίου που φαίνεται να χρησιμοποιεί το βιβλίο. Γι' αυτόν τον λόγο αυτά θα τα εκτιμήσουμε καλύτερα μόλις κάνουμε και τα όρια.
OMG! Διάβαζα τώρα σε ένα άρθρο ότι όταν ο Newton και ο Leibniz διατύπωναν τις αντιλήψεις τους για την Ανάλυση, δεν είχαν χρησιμοποιήσει ανισότητες, ενώ τώρα η μοντέρνα Ανάλυση βασίζεται σε άλγεβρα ανισοτήτων και σε αποδείξεις δ-ε που έχουν να κάνουν με ανισότητες! Θα δούμε αργότερα τι σημαίνει αυτό, αλλά αν οι ιδρυτές της σύγχρονης Ανάλυσης δεν είχαν χρησιμοποιήσει αυτές τις ανισότητες, τότε πώς είχαν ορίσει τα όρια και πώς εννοούσαν την Ανάλυση;
Εκεί που το ενδιαφέρον κορυφώνεται, πρέπει να κλείσουμε την ανάρτηση, αν και δε νιώθω πως έγινα σοφότερος σήμερα. Sorry Michael (εννοώ τον Spivak)! Σαν τις σειρές στην τηλεόραση:
TO BE CONTINUED
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου