Για την Μαθηματική Ανάλυση Ι πήρα το βιβλίο του Ρασσιά. Είχα διαβάσει πολύ καλές κριτικές. Και επίσης είχα από παλιά το βιβλίο του Spivak, το οποίο δεν είχα διαβάσει πέρα από τις πρώτες σελίδες. Καιρός λοιπόν να το μελετήσω συστηματικά. Άλλωστε, χρησιμοποιώντας και τα δυο βιβλία θα έχω μια πληρέστερη εποπτεία του αντικειμένου.
Από μια πρώτη γρήγορη ματιά στο κομμάτι της παραγώγου, ο Διαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισμός του Spivak μου φαίνεται πιο "πειραματικός" στην προσέγγιση που ακολουθεί, πιο "επαγωγικός", ενώ ο Ρασσιάς πιο "παραγωγικός" και "ξερός", με την έννοια ότι σου πετάει τους ορισμούς χωρίς όμως να το έχει παιδέψει το πράγμα και να σου έχει δώσει να καταλάβεις γιατί μελετάμε αυτούς τους συγκεκριμένους ορισμούς και όχι κάποιους άλλους και πώς φτάσαμε σε αυτούς.
Αυτό που θέλω εγώ από τη μελέτη που σκοπεύω να κάνω δεν είναι να αποκτήσω ξερές γνώσεις και τεχνικές όπως γίνεται συνήθως στο εκπαιδευτικό σύστημα. Άλλωστε εγώ δεν είμαι τυπικός εκπρόσωπος του εκπαιδευτικού συστήματος στην παρούσα φάση. Μελετάω αποκλειστικά και μόνο από περιέργεια, μεράκι και πάθος για τη γνώση. Ζητάω να καταλάβω τις βασικές έννοιες και να λύσω πολλές απορίες αντιλαμβανόμενος τη χρησιμότητα που έχουνε στα μαθηματικά και τη φυσική.
Γι' αυτόν τον λόγο αποφάσισα να ξεκινήσω ανορθόδοξα τη μελέτη της ανάλυσης. Όσες φορές προσπάθησα να ξεκινήσω από την αρχή το βιβλίο του Ρασσιά βαρέθηκα μετά από λίγο, οπότε τώρα θα ξεκινήσω από το κεφάλαιο της παραγώγου και θα προχωράω τα βιβλία και προς τις 2 κατευθύνσεις, ανάλογα με το πού με πάνε οι ερωτήσεις που θα μου δημιουργούνται.
Με μια ιδέα που πήρα καθώς τελείωνα το βιβλίο του Lindberg ξεκινάω την ανάλυση με σκοπό να καταλάβω μερικά συγκεκριμένα πράγματα.
Στο κομμάτι των μαθηματικών, θέλω να μάθω πώς βρίσκουμε την εφαπτομένη σε ένα σημείο μιας καμπύλης και πως βρίσκουμε το εμβαδόν που περικλείεται σε μια επιφάνεια.
Στο κομμάτι της φυσικής, θέλω να μάθω πώς βρίσκουμε τη στιγμιαία ταχύτητα, την επιτάχυνση και να σκεφτώ τι νόημα έχουν αυτές οι έννοιες, ποια είναι η φυσική τους σημασία, αν υπάρχουν άλλες έννοιες με πιο "πραγματική" φυσική σημασία και ποιες έννοιες είναι περισσότερο "κατάλληλες" για την περιγραφή μιας κίνησης.
Νομίζω πως είναι περιττό να αναφέρω πως έχω ξεχάσει ό,τι ήξερα από τα Μαθηματικά της Τρίτης Λυκείου (και ήμουν άριστος σε αυτά!), επομένως όλα θα τα ξαναμάθω από την αρχή.
Έχω τελειώσει το κεφάλαιο 9 του Spivak (7η έκδοση - 2001), αλλά δεν έχω ακόμα δει τις ασκήσεις στο τέλος του κεφαλαίου. Το ζουμί, κατά τη γνώμη μου βρίσκεται στην αρχή, γιατί εκεί γίνεται η προσπάθεια να καταλάβουμε τι είναι η παράγωγος.
Το κεφάλαιο ξεκινά με μια εποπτική - διαισθητική προσέγγιση, όπου ο αναγνώστης καλείται να εκτιμήσει το πρόβλημα της εφαπτομένης με γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων που περιλαμβάνουν σημεία στα οποία η ιδέα της εφαπτομένης είναι προβληματική. Με αφορμή αυτό, ο συγγραφέας μας βάζει κατευθείαν στα βαθιά των μαθηματικών, γιατί μας πάει στη συμπεριφορά των συναρτήσεων, στη φύση τους και στις διάφορες ομάδες που υπάρχουν ή που, τέλος πάντων, εμείς μπορούμε να σχηματίσουμε. Αν και αυτή η πλευρά έχει μεγάλο ενδιαφέρον, εγώ προς το παρόν νομίζω πως θα αρκεστώ με το τεράστιο πρόβλημα της εύρεσης εφαπτομένης ενός σημείου μιας καμπύλης.
Στη συνέχεια γίνεται μια προσπάθεια να καταλάβουμε πως δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον ορισμό της εφαπτομένης όπως τον ξέρουμε για τον κύκλο από τη γεωμετρία και για τις υπόλοιπες καμπύλες και αφού το πρόβλημα είναι πια στο προσκήνιο γίνεται και μια προσπάθεια προσέγγισής του που έχει να κάνει με τις τέμνουσες και ενσωματώνει τη γνώση για τα όρια, γνώση που θα την μελετήσω αργότερα.
Τι κάνει λοιπόν; Παίρνει μια τέμνουσα, βρίσκει την εφαπτομένη της ευθείας αυτής και προσπαθεί να μικρύνει όσο γίνεται τη διαφορά μεταξύ των δύο σημείων που ορίζουν την τέμνουσα. Στην προσπάθεια να γίνει αυτή η διαφορά απείρως (εξ ου και απειροστικός λογισμός, γιατί το εννοιολογικό πλαίσιο που σχετίζεται με το άπειρο παίζει σημαντικό ρόλο, από ό,τι έχω καταλάβει, στην ανάλυση) μικρή, χρησιμοποιείται η έννοια του ορίου, και συγκεκριμένα εξετάζεται το όριο της εφαπτομένης της τέμνουσας όταν η διαφορά των δύο σημείων της καμπύλης που ορίζουν την τέμνουσα τείνει να μηδενιστεί. Αυτό το όριο είναι η παράγωγος της συνάρτησης σε αυτό το σημείο και με βάση αυτό ορίζεται η εφαπτομένης της καμπύλης στο σημείο αυτό.
Τα πράγματα είναι αρκετά ξεκάθαρα λοιπόν και για να γίνουν ακόμα πιο ξεκάθαρα θα πρέπει να ρίξουμε φως στην έννοια του ορίου. Υποπτεύομαι πως το όριο έχει τόση έννοια όση και το σημείο σε μια συνάρτηση. Μπορεί εμείς να θεωρούμε πως το σημείο έχει νόημα και πραγματικά να θεωρούμε τουλάχιστον τα σημεία που αντιστοιχούν σε συγκεκριμένους αριθμούς έχουν νόημα, αλλά δε νομίζω πως η φυσική πραγματικότητα εμπεριέχει απείρως μικρές περιοχές χώρου και δε νομίζω πως και κάτι τέτοιο βγάζει νόημα από λογικής πλευράς, επομένως ο χειρισμός με τα όρια για την εφαπτομένη σε σημείο είναι αρκετά καλός.
Στη συνέχεια ο Spivak το κάνει ακόμα πιο ενδιαφέρον, εξηγώντας πως ο τύπος για την εφαπτομένη της τέμνουσας που χρησιμοποιήσαμε προηγουμένως, όταν εφαρμοστεί σε μια ειδική συνάρτηση, αυτήν της απόστασης συναρτήσει του χρόνου για μια ευθύγραμμη κίνηση, μας δίνει τη μέση ταχύτητα, μια υποθετική ταχύτητα με την οποία αν κινούταν συνεχώς το κινητό θα είχε διανύσει την ίδια απόσταση στον ίδιο χρόνο. Το αντίστοιχο όριο για ένα σημείο της γραφικής παράστασης, η μέση ταχύτητα δηλαδή για δυο σημεία με διαφορά απείρως μικρή το ένα από το άλλο, αποτελεί αυτό που λέμε στιγμιαία ταχύτητα.
Με βάση αυτά που είπαμε προηγουμένως, εγείρονται ερωτήματα και για τη σχέση της στιγμιαίας ταχύτητας με την πραγματικότητα και άρα και της ταχύτητας γενικότερα. Μπορεί ως θεωρητικές αφαιρέσεις να είναι εξαιρετικές και με μεγάλη χρησιμότητα, αλλά ποια μεγέθη έχουν αντιστοιχία με φυσικές πραγματικότητες; Φυσικά όλος ο προβληματισμός θα μπορούσε να καταπέσει αν οριζόταν η παράγωγος με διαφορετικό τρόπο, αλλά όσο έχουμε τα όρια μέσα στον ορισμό, και τα σημεία μέσα σε μια συνεχή συνάρτηση, το ζήτημα παραμένει.
Μετά ο Spivak ορίζει τον ρυθμό μεταβολής και υπολογίζει παραγώγους για ορισμένες απλές συναρτήσεις χρησιμοποιώντας τον ορισμό. Αργότερα παρουσιάζεται ο συμβολισμός που χρησιμοποίησε ο Leibniz (εδώ πρέπει να πω πως έχω συνηθίσει τον συμβολισμό του Lagrange) και συνεχίζουμε με αποδείξεις γιατί ορισμένες απλές συναρτήσεις δεν έχουν παραγώγους, πάλι δουλεύοντας με τον ορισμό.
Στη συνέχεια εξερευνάται η σχέση συνέχειας - παραγώγου με τη διατύπωση του θεωρήματος ότι αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο, τότε θα είναι συνεχής και στο σημείο αυτό. Με λίγα λόγια, η συνέχεια είναι προαπαιτούμενο για την παραγώγιση, μια σχέση που διαισθητικά εντόπισα και νωρίτερα. Η απόδειξη του θεωρήματος γίνεται με παραγωγικό τρόπο και αυτό δε μου πολυαρέσει. Θα προσπαθήσω να επανέλθω αργότερα για να δω τι άλλο θα μπορούσε να γίνει.
Σημειώνεται βέβαια πως το αντίστροφο δεν ισχύει και πως υπάρχουν ένα σωρό συνεχείς συναρτήσεις που μπορεί να μην είναι παραγωγίσιμες σε σημεία του πεδίου ορισμού τους, είτε πρόκειται για ένα σημείο ή για μερικά σημεία, είτε ακόμα και για άπειρα σημεία. Δίνονται ορισμένα παραδείγματα και εδώ γίνεται και μια πρόκληση από τον Spivak, με την παρουσίαση μιας συνάρτησης που είναι συνεχής παντού αλλά πουθενά παραγωγίσιμη και την οποία θα ορίσει στο κεφάλαιο για την ομοιόμορφη σύγκλιση και τις δυναμοσειρές. Θα περιμένω με μεγάλο ενδιαφέρον να δω πως θα χειριστεί αυτήν την συνεχή συνάρτηση που έχει άπειρες αιχμές. Κατά τη γνώμη μου, το παράδειγμα που χρησιμοποιεί ενισχύει τη γνώμη ότι η μαθηματική έννοια της συνέχειας δεν ταυτίζεται με την διαισθητική εικόνα μιας γραφικής παράστασης μιας συνεχούς συνάρτησης που έχουμε στο μυαλό μας.
Τα παραδείγματα συνεχίζονται, με μια συνάρτηση που περιέχει τη συνάρτηση του ημιτόνου και μια άλλη συνάρτηση, της οποίας ο ορισμός δεν αποκαλύπτεται και του οποίου η εύρεση αφήνεται ως πρόκληση - άσκηση για τον αναγνώστη. Για να δούμε, θα καταφέρω κάποτε να τον βρω; Στην δε συνάρτηση με το ημίτονο, το "πρόβλημα" στον σχεδιασμό της γραφικής παράστασης όταν πλησιάζουμε το σημείο Ο συσχετίζεται με την έλλειψη παραγώγου σε αυτό το σημείο, οπότε η παράγωγος μπορεί να μας φανεί χρήσιμη στην εξερεύνηση συναρτήσεων, αλλά γρήγορα διαπιστώνουμε πως υπάρχουν και άλλες συναρτήσεις που στο μάτι φαίνεται να έχουν παρόμοιο πρόβλημα στο Ο, που όμως έχουν παράγωγο στο σημείο αυτό. Επομένως πρέπει να διερευνηθεί και αυτό το ζήτημα.
Τέλος, δίνονται οι ορισμοί για παραγώγους μεγαλύτερης τάξεως μιας συνάρτησης. Με αυτό το εργαλείο διερευνούμε το ζήτημα που δημιούργησαν οι συναρτήσεις που μόλις αναφέραμε, καθώς το "πρόβλημα" θα εμφανιστεί κάποια στιγμή όσο διερευνούμε παραγώγους μεγαλύτερης τάξης αυτού του είδους των συναρτήσεων. Δε γίνεται όμως έτσι εύκολα να γενικεύσουμε, οπότε και θα έχει ενδιαφέρον η συνέχεια μελέτης των διαφόρων συναρτήσεων.
Από τα παραπάνω γίνεται σαφές πως έχουμε επινοήσει ένα σημαντικό εργαλείο μαθηματικής εξερεύνησης, με το οποίο μπορούμε να μελετήσουμε καλύτερα μαθηματικά αντικείμενα (τις συναρτήσεις), αλλά και να το χρησιμοποιήσουμε για την προσέγγιση του φυσικού κόσμου. Η συνέχεια θα είναι ενδιαφέρουσα, αρκεί να μη χάνουμε από το πεδίο της προσοχής μας τους κύριους στόχους μας.
Στη φωτογραφία εικονίζεται ο Gottfried Leibniz, έτσι, για να τη σπάσουμε στον Νεύτωνα.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου